千日手は双方同じ手順を繰り返し打開できない状態、より厳密には、同一局面が複数回現れる状態です。この概念はチェスにもあって、スリーフォールド・レピティションと呼ばれているようです。

一方、チェスにおいてステイルメイトは合法手がない状態を指します。この概念は将棋にもありますが、名前はついてないようです。

千日手とステイルメイトは共に盤面の状態を指す言葉ですが、対応する概念ではありません。よってステイルメイトの訳語を千日手とするのは、一般的には不適切です。

ただ、この２つに共通するのは「発生すると引き分け(将棋はその後指し直し)になる」ということです。ステイルメイトという単語が、引き分けになるとか決着がつかないという意味合いで使われるならば、千日手と翻訳できる場面もあると思います。

以上。事実誤認もしくは論理破綻の指摘のみ受け付けます。